如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA

（1）点B的坐标为（0，2）；（2）DE=4；（3）m的值为8或-8．. 试题分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到 ， ，将 代入 ，即可求出二次函数的表达式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．试题解析：（1）当m=2时，y= （x-2） 2 +1，把x=0代入y= （x-2） 2 +1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A（m，- m 2 +m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m-（- m 2 +m）= m 2 ，∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴ ，即： ，∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，- m 2 +m），∴点D的坐标为（2m，- m 2 +m+4），∴x=2m，y=- m 2 +m+4，∴y=- ?( ) 2 + +4，∴所求函数的解析式为：y=- x 2 + +4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF， （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（- m 2 +m+4）-（ m 2 ）=- m 2 +m+4，把P（3m，- m 2 +m+4）的坐标代入y=- x 2 + +4得：- m 2 +m+4=- ×（3m） 2 + ×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（- m 2 +m+4）+（ m 2 ）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=- x 2 + +4得：m+4=- m 2 + m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，综上所述：m的值为8或-8．考点:二次函数综合题．