[2021年北京市高考数学]定义数列:对实数p,满足:①,;②;③,.〔1〕对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;〔2〕假设是数列,求的值;〔3〕是否存在p,使得存在数列,对?假设存在,求出所有这样的p;假设不存在,说明理由.

[2021年北京市高考数学]定义数列:对实数p,满足:①,;②;③,.〔1〕对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;〔2〕假设是数列,求的值;〔3〕是否存在p,使得存在数列,对?假设存在,求出所有这样的p;假设不存在,说明理由.

[答案]〔1〕不可以是数列;理由见解析;〔2〕;〔3〕存在;.

[分析]

(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列;

(2)由题意首先确定数列的前4项,然后讨论计算即可确定的值;

(3)构造数列,易知数列是的,结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.

[详解]

(1)由性质③结合题意可知,

矛盾,故前4项的数列,不可能是数列.

(2)性质①,

由性质③,因此或,

或,

假设,由性质②可知,即或,矛盾;

假设,由有,矛盾.

因此只能是.

又因为或,所以或.

假设,那么,

不满足,舍去.

当,那么前四项为:0,0,0,1,

下面用纳法证明:

当时,经验证命题成立,假设当时命题成立,

当时:

假设,那么,利用性质③:

,此时可得:;

否那么,假设,取可得:,

而由性质②可得:,与矛盾.

同理可得:

,有;

,有;

,又因为,有

即当时命题成立,证毕.

综上可得:,.

(3)令,由性质③可知:

,

由于,

因此数列为数列.

由〔2〕可知:

假设;

,

,

因此,此时,,满足题意.

[点睛]

此题属于数列中的“新定义问题〞,“新定义〞主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法那么、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是根底数学知识,所以说“新题〞不一定是“难题〞,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.